Abaqus减缩积分与完全积分的区别与应用

neocai

Abaqus减缩积分与完全积分的区别与应用

对于很多ABAQUS的初学用户来说，减缩积分和完全积分似乎是一个很陌生而且容易混淆的概念。弄清这些概念将有助于我们合理选择单元类型，得到精确的模拟计算结果。
目前的有限元方法主要是采用等参单元以及非协调元，由于子单元非常复杂，通常情况下导致Jacobi及其行列式计算比较复杂，此时一般都不能进行显示积分计算(刚度矩阵K的计算中含有Jacobi行列式)，而需要借助于数值积分方法。
数值积分方法主要是采用高斯数值积分，不同的单元形式其积分点数是不同的，高斯积分的阶次与插值函数的最高方次项有关。高斯积分阶数与被积函数所有项次精确积分所需要阶数相同的积分方案称为完全积分，而低于积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案时，称之为减缩积分。
为便于形象地理解，我们结合积分单元图进行描述。
首先是完全积分单元，当单元具有规则形状（边是直线并且边与边相交成直角）时， 所用的Gauss积分点的数目足以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确积分。


如图，完全积分的线性单元在每一个方向上采用2个积分点；完全积分的二次单元在每一个方向上采用3个积分点。
而减缩积分单元比完全积分单元在每个方向上少用一个积分点。


如图，对于减缩积分的线性单元只在单元的中心有一个积分点；减缩积分的二次单元在每一个方向上有2个积分点。

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但是，为什么要采用减缩积分呢？原因有以下几点：
1. 减缩积分一般比完全积分要好的多，减少了计算时间提高了计算效率(积分点少计算少)，而且计算精度也有所提高；
2. 采用伽辽金法计算的偏微分方程，是基于最小位能原理建立起来的位移有限元，它的解答具有下限性。也就是说离散的网格上重新有了约束，提高了单元的刚度，从而使得位移结果偏小，而采用减缩积分，能够降低计算模型的刚度，提高了解答的精确性。
但是减缩积分也有自身的缺点，它对边界条件的要求很高，由于其可能导致零能模式，从而使得解答失真，所以采用此方法必须要注意刚度矩阵K的非奇异性条件能否得到保证。
那么什么是线性或二次完全或减缩积分单元呢，它们的区别和应用又是什么?下面就针对这些问题做一下详细的总结。
1) 线性完全积分单元：
当单元具有规则形状时，所用的高斯积分点的数目足以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确积分。
缺点：承受弯曲载荷时，会出现剪切自锁，造成单元过于刚硬，即使划分很细的网格，计算精度仍然很差。
2) 二次完全积分单元
优点：应力计算结果很精确，适合模拟应力集中问题；一般情况下，没有剪切自锁问题。
但是用这种单元时要注意：a)不能用于接触分析；b)对于弹塑性分析，如果材料不可压缩(例如金属材料)，则容易产生体积自锁；c)当单元发生扭曲或弯曲应力有梯度时，有可能出现某种程度的自锁。
3) 线性减缩积分单元：
减缩积分单元，比普通的完全积分单元在每个方向少用一个积分点；
线性缩减积分单元：只在单元的中心有一个积分点，由于存在沙漏数值问题（hourglass）而过于柔软。采用线性缩减积分单元模拟承受弯曲载荷的结构时，沿厚度方向上至少应划分四个单元。
优点：
（1）对位移的求解计算结果较精确；
（2）网格存在扭曲变形时（例如Quad 单元的角度远远大于或小于90o），分析精度不会受到明显的影响；
（3）在弯曲载荷下不易发生剪切自锁。
缺点:
（1）需要较细网格克服沙漏问题；
（2）如果希望以应力集中部位的节点应力作为分析目标，则不能选用此单元。因为线性缩减积分单元只在单元的中心有一个积分点，相当于常应力单元，在积分点上的应力结果实相对精确的，而在经过外插值和平均后得到的节点应力则不精确。
4) 二次减缩积分单元
不但保持线性减缩积分单元的上述优点，还具有如下特点：（1）即使不划分很细的网格也不会出现严重的沙漏问题；（2）即使在复杂应力状态下，对自锁问题也不敏感。
使用这种单元要注意：
（1）不能用于接触分析；
（2）不能用于大应变问题；
（3）存在与线性减缩积分单元类似的问题，由于积分点少，得到的节点应力的精度往往低于二次完全积分单元。