聊一聊ANSYS中的阻尼

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聊一聊ANSYS中的阻尼

阻尼是动力分析的一大特点，也是动力分析中的一个易于引起困惑之处，而且由于它只是影响动力响应的衰减，出了错不容易觉察。
阻尼的本质和表现是相当复杂的，相应的模型也很多。ANSYS 提供了强大又丰富的阻尼输入，但也正以其强大和丰富使初学者容易发生迷惑。
这里介绍各种阻尼的模型在 ANSYS 中的实现，以及在 ANSYS 中阻尼功能的使用。
1．比例阻尼
最常用也是比较简单的阻尼大概是 Rayleigh 阻尼，又称为比例阻尼。它是多数实用动力分析的首选，对许多实际工程应用也是足够的。在 ANSYS 里，它就是α 阻尼与 β 阻尼之和，分别用 ALPHD 与 BETAD 命令输入。已知结构总阻尼比是 ξ，则用两个频率点上α阻尼与β 阻尼产生的等效阻尼比之和与其相等，就可以求出近似的α 阻尼与β 阻尼系数来用作输入：

(1) 为求比例阻尼系数的拟合公式
用方程组（5.1.1）可以得到α 阻尼与β 阻尼系数值，然后用ALPHD 与 BETAD 命令输入，这种阻尼输入既可以做 full（完全）法的分析，也可以作减缩法与振型叠加法的分析，都是一样的有效。
但是尽管α 阻尼与 β 阻尼概念简单明确，在使用中也要小心一些可能的误区。首先，α 阻尼与质量有关，主要影响低阶振型，而β 阻尼与刚度有关，主要影响高阶振型；如果要做的是非线性瞬态分析，同时刚度变化很大时，那么使用β 阻尼很可能会造成收敛上的困难；一样的理由，有时在使用一些计算技巧时，比如行波效应分析的大质量法，加上了虚假的大人工质量，那么就不可以使用α 阻尼。同样，在模型里加上了刚性连接时，也应该检查一下 β 阻尼会不会造成一些虚假的计算结果。
2．阻尼阵的计算
ANSYS 中有多种办法可以输入阻尼特性。先概括几个在结构分析中常用的输入阻尼的命令：
ALPHAD： 输入α 阻尼参数
BETAD： 输入 β 阻尼参数
DMPRAT： 输入全结构的阻尼比 ξ
MDAMP： 输入与各频率的振型对应的模态阻尼比
MP，DAMP 输入对应于某种材料的材料阻尼。
与以上几种命令的输入对应的 ANSYS 计算的总阻尼阵 [C] 是：

在上述 ANSYS 计算阻尼矩阵的公式中：
前两项是用 α 与 β定义的 Rayleigh 阻尼；第三项是与全结构的阻尼比 ξ对应的阻尼阵；第四项是材料阻尼；最后一项是一些单元特有的单元阻尼阵。m 是结构中有阻尼的材料种类数，n是具有特有阻尼的单元类型数。
3．粘性阻尼比
粘性阻尼表现为类似物体在粘性流体中运动时的阻力，与速度成正比。粘性阻尼力为：

对单自由度系统，c 就是粘性阻尼系数，对多自由度系统，c 就是阻尼矩阵 [C]。[C]是定义结构阻尼特性的最基本形式，然而对粘性阻尼，很少有直接定义阻尼阵 [C] 的，阻尼比才是定义粘性阻尼最简捷的方法。在 ANSYS中，既可以定义在结构坐标系下的全结构阻尼比（DMPRAT命令），也可以在模态坐标下对各个模态定义各自的模态阻尼比（MDAMP 命令）。ANSYS 最终计算的各模态相应的模态阻尼比是 MDAMP 定义的模态阻尼比与 DMPRAT 定义的全结构阻尼比的叠加。

DMPRAT 与 MDAMP 都是只对响应谱分析、谐分析及使用模态叠加法的瞬态分析有效，它们所对应的阻尼阵 [C] 是随频率不同而变化的阻尼阵。已知模态阻尼比 ξi 后，与输入的模态阻尼比对应的阻尼矩阵 [C] 用下式求出：

其中{Φi} 是第 i个振型向量， fi 是对应的模态频率。
值得注意的是上述公式只有理论意义，在振型叠加中是直接使用定义的振型阻尼比与全结构阻尼比，没有哪个软件会用公式（3）去反求出阻尼阵来。（也许某些程序里可以反求出阻尼阵来，但至少 ANSYS 没有这么做）。所以在做 Full（完全）积分法的瞬态分析时，用阻尼比定义的阻尼都被程序忽略掉了，那么许多时候我们需要用一个全结构的阻尼比去做 full 法的瞬态分析计算时，（如一些规范上规定某些结构可以用 0.005～0.05 的阻尼比做分析），该怎么办呢？这时候一个简单的办法是用α阻尼与 β 阻尼来逼近一个常数阻尼比。

选定 ω1 与 ω2，就可以用公式（1）计算出输入用的 ALPHD 与BETAD 值来。
4．材料阻尼
与其它几种阻尼不同的是，材料阻尼是在材料参数里面进行定义的（命令：MP,DAMP），
材料阻尼又叫滞回阻尼，其最显著的特点是与结构响应频率无关。

许多文献上常把它写成复数刚度的形式：k* = k + iζ 。其中 k是结构刚度，i= -1^(1/2)，
ζ 称做材料阻尼系数（又叫结构阻尼系数）。
在单自由度情况，质量 m 做简谐振动时，ζ×k = c×w（c 是对应的粘性阻尼系数），由此得到材料阻尼系数与粘性阻尼比的关系式为：

（在日本的结构减震规范中，用来定义阻尼的减衰系数就是此材料阻尼系数 ζ。）
在 ANSYS 里，它是刚度矩阵的乘子，产生的阻尼阵是各材料对应刚度的加权和，ANSYS 计算材料阻尼对应阻尼矩阵的公式是：

很明显，它对应的阻尼阵 [C] 可以对角化，所以既能在 full（完全）法瞬态分析中使用，也可以在振型叠加法分析中使用。
上一小节介绍了：ANSYS 在做 Full 积分的瞬态分析时，用阻尼比定义的阻尼都被程序忽略掉，在许多时候，已知的是粘性阻尼的阻尼比，又要做 full 法的瞬态分析，那怎么办？此时一种办法是把粘性阻尼比换算为材料阻尼系数再用 MP，DAMP 输入。
材料阻尼系数ζ与粘性阻尼比ξ的换算关系是：
ζ=ξ/π/f
在单自由度情况：
ζ= c / k
c 是粘性阻尼系数。
常见材料的材料阻尼系数见下表：

金属的阻尼是比较低的，不知道这算不算是钢结构的一个缺点。一般来说高阻尼的金属，其强度、延性、硬度均低。但是也有例外，如锰铜合金其强度、硬度、延性、阻尼都高，但是相应价格也很高。
5．模态阻尼比的计算
当采用模态叠加法时，ANSYS 对模态阻尼比与结构阻尼比是直接使用的，对其它阻尼则是计算多种阻尼产生的模态阻尼比来计算各模态的响应。
在各种阻尼输入下，ANSYS 程序计算出的第 i 个模态的总模态阻尼比是：

在 ANSYS 计算模态阻尼比的公式中：
其中前两项是 α阻尼与 β 阻尼对应的模态阻尼比 (ALPHAD 和 BETAD 命令)，第三项是输入的全结构阻尼比(DMPRAT 命令)，第四项是输入的模态阻尼比(MDAMP 命令)，最后一项是 m 种材料的材料阻尼系数 ξj 产生的模态阻尼比(MP,DAMP 命令)。其中：
Ej = (1/2){Φj}T[K]{Φj}
是第 j 种材料对应的模态应变能，在日本减震规范中，就是采用此应变能公式来计算结构阻尼比的。